Munis de ce résultat, nous pouvons prouver l'irrationalité de .
Nous souhaitons raisonner par contradiction, nous allons donc supposer que est rationnel. Nous allons montrer que cette hypothèse conduit à une contradiction. Nous en déduirons donc que l'hypothèse est fausse, c'est-à-dire que est irrationnel.
Si est rationnel, on peut donc écrire où et sont deux nombres entiers strictement positifs. Quitte à diviser par leur PGCD, nous pouvons de plus supposer que l'écriture est la forme irréductible de cette fraction. En particulier, et ne sont pas simultanément pairs.
Élevons au carré l'égalité . Il vient ou encore . Ainsi, est un nombre pair. Or, nous avons vu qu'un nombre et son carré ont toujours la même parité. Il s'ensuit que est lui-même un nombre pair. Nous pouvons donc poser .
Notre égalité devient alors ou encore est donc un nombre pair. Comme plus haut, nous en déduisons que est lui-même un nombre pair.
et sont donc simultanément pairs, ce qui est contradictoire avec nos hypothèses. Il s'ensuit que la racine carrée de est un nombre irrationnel.