Munis de ce résultat, nous pouvons prouver
l'irrationalité de .
Nous souhaitons raisonner par contradiction, nous allons donc
supposer que est rationnel. Nous allons
montrer que cette hypothèse conduit à une
contradiction. Nous en déduirons donc que l'hypothèse
est fausse, c'est-à-dire que
est
irrationnel.
Si est rationnel, on peut donc
écrire
où
et
sont deux nombres entiers strictement
positifs. Quitte à diviser par leur PGCD, nous pouvons de
plus supposer que l'écriture
est la
forme irréductible de cette fraction. En particulier,
et
ne sont pas
simultanément pairs.
Élevons au carré l'égalité
. Il vient
ou encore
. Ainsi,
est un nombre pair. Or, nous avons vu qu'un nombre et son
carré ont toujours la même parité. Il s'ensuit
que
est lui-même un nombre pair. Nous
pouvons donc poser
.
Notre égalité devient alors ou encore
est donc un nombre pair. Comme
plus haut, nous en déduisons que
est
lui-même un nombre pair.
et
sont donc
simultanément pairs, ce qui est contradictoire avec nos
hypothèses. Il s'ensuit que la racine carrée de
est un nombre irrationnel.