La démonstration.

Munis de ce résultat, nous pouvons prouver l'irrationalité de $\sqrt {2}$.

Nous souhaitons raisonner par contradiction, nous allons donc supposer que $\sqrt {2}$ est rationnel. Nous allons montrer que cette hypothèse conduit à une contradiction. Nous en déduirons donc que l'hypothèse est fausse, c'est-à-dire que $\sqrt {2}$ est irrationnel.

Si $\sqrt {2}$ est rationnel, on peut donc écrire $\sqrt{2}=m/n$ où $m$ et $n$ sont deux nombres entiers strictement positifs. Quitte à diviser par leur PGCD, nous pouvons de plus supposer que l'écriture $m/n$ est la forme irréductible de cette fraction. En particulier, $m$ et $n$ ne sont pas simultanément pairs.

Élevons au carré l'égalité $\sqrt{2}=m/n$. Il vient $2=m^2/n^2$ ou encore $m^2=2n^2$. Ainsi, $m^2$ est un nombre pair. Or, nous avons vu qu'un nombre et son carré ont toujours la même parité. Il s'ensuit que $m$ est lui-même un nombre pair. Nous pouvons donc poser $m=2m'$.

Notre égalité devient alors $4m'^2=2n^2$ ou encore $2m'^2=n^2. n^2$ est donc un nombre pair. Comme plus haut, nous en déduisons que $n$ est lui-même un nombre pair.

$m$ et $n$ sont donc simultanément pairs, ce qui est contradictoire avec nos hypothèses. Il s'ensuit que la racine carrée de $2$ est un nombre irrationnel.