Remarque :

Cette démonstartion est souvent présentée comme le protype même de démonstration par l'absurde, mais ce n'en est pas une!

Pour commencer, rappelons que le principe du tiers-exclu est pour toute proposition $P$, on a $P$ ou $non$ $P$. Ce principe ne peut pas être prouvé, il est indécidable. Ainsi, certains mathématiciens l'acceptent (la grande majorité des mathématiciens, en fait) et d'autres ne l'acceptent pas (les mathématiciens de l'école intuitionniste pour la plupart).

Le raisonnement par l'absurde, a pour principe: pour toute proposition P, non non P entraîne P. On peut facilement montrer que le principe du raisonnement par l'absurde et le principe du tiers-exclu sont équivalents.

Dans notre démonstration, le raisonnement tenu est le suivant: on suppose P et on essaye d'aboutir à une contradiction, ce qui prouve non P. C'est alors la définition même du ``non'' qui est utilisée: par définition de la négation logique, il est contradictoire d'avoir $P$ et $non$ $P$. Cette démonstration de l'irrationnalité de $\sqrt {2}$ ne fait pas appel au raisonnement par l'absurde ni au principe du tiers exclu: elle est donc parfaitement admise par les mathématiciens intuitionnistes.