Irrationalité de la racine d'un nombre premier.

Sachant que la racine carrée de $2$ est irrationnelle, on peut s'interroger sur la racine cubique de $2$, la racine carrée de $3$, d'un nombre premier quelconque.

Chacun de ces nombres est en fait irrationnel, mais pour établir un résultat relativement général sur ces questions, il est utile de recourir à des outils un peu plus élaborés que dans la section précédente: la décomposition factorielle d'un nombre entier et la valuation $p$-adique sur les entiers.

On rappelle que pour tout nombre premier $p$ la valuation $p$-adique d'un entier $x$ est le nombre noté $v_p(x)$ défini comme le plus grand entier naturel $a$ tel que $p^a$ divise $x$. C'est aussi l'exposant de $p$ dans la décomposition de $x$, en facteurs premiers.

On voit facilement que la valuation $p$-adique possède la propriété de morphisme suivante: $v_p(xy) = v_p(x)+v_p(y)$, pour tous entiers $x$ et $y$, et donc aussi $v_p(x^a) = a v_p(x)$ pour $a$ entier positif.

Une généralisation du problème de l'irrationalité de la racine carrée de $2$ peut se formuler comme suit:

Soit $a$ un nombre entier strictement positif. A quelle condition sur l'entier positif $x$ le nombre $x^{1/a}$ (racine $a$-ième de $x$) est-il rationnel?

Posons $x^{1/a}=m/n$. Il vient $m^a=x n^a$. Pour tout nombre premier $p$, on a donc $v_p(m^a) = v_p(x n^a)$ et donc $a v_p(m) = v_p(x) + a v_p(n)$ ou encore $v_p(x) = a (v_p(m)-v_p(n))$. $v_p(x)$ est ainsi un multiple de a quel que soit le nombre premier $p$. Il s'ensuit que $x$ est lui-même la puissance $a$-ième d'un entier.

Il est par ailleurs évident que la racine $a$-ième d'un nombre qui est puissance $a$-ième d'un entier est rationnelle. On peut donc affirmer:

$x^{1/a}$ est un nombre rationnel si et seulement si x est la puissance $a$-ième d'un entier.

Ainsi, en particulier, les nombres entiers dont la racine carrée est rationnelle sont les carrés d'entiers.