cardinal d'un ensemble infini:

La façon parfaitement rigoureuse de définir le cardinal pour un ensemble infini s'appuie sur le théorème de Cantor-Bernstein:

(la démonstration est facile dans le cas fini, un peu moins dans le cas général).

Ce théorème justifie les écritures: $\card(A) = \card(B)$ si $A$ et $B$ sont équipotents $\card(A) \leq \card(B)$ si $A$ s'injecte dans $B$ En effet, on peut alors appliquer la règle d'antisymétrie: si $n \leq m$ et $m \leq n$ alors $n = m$.

Écrire cette règle avec les cardinaux infinis est une simple ré-écriture du théorème de Cantor-Bernstein.

D'autre part, on a l'équivalence (moyennant l'axiome du choix): $A$ s'injecte dans $B \iff B$ se surjecte sur $A$ et en notant $\card(B) >= \card(A)$ si $B$ se surjecte sur $A$, on reste cohérent en manipulant les cardinaux.

Pour la culture (merci à David Madore): Si $A$ et $B$ sont deux ensembles quelconques, alors soit $A$ s'injecte dans $B$ (ie $\card(A) \leq \card(B)$), soit $B$ s'injecte dans $A$ (ie $\card(B) \leq \card(A)$). En d'autres termes: les cardinaux forment une classe totalement ordonnée.