(la démonstration est facile dans le cas fini, un peu moins dans le cas général).
Ce théorème justifie les écritures: si et sont équipotents si s'injecte dans En effet, on peut alors appliquer la règle d'antisymétrie: si et alors .
Écrire cette règle avec les cardinaux infinis est une simple ré-écriture du théorème de Cantor-Bernstein.
D'autre part, on a l'équivalence (moyennant l'axiome du choix): s'injecte dans se surjecte sur et en notant si se surjecte sur , on reste cohérent en manipulant les cardinaux.
Pour la culture (merci à David Madore): Si et sont deux ensembles quelconques, alors soit s'injecte dans (ie ), soit s'injecte dans (ie ). En d'autres termes: les cardinaux forment une classe totalement ordonnée.