Quelques précisions sur les ensembles dénombrables.

On a une injection évidente $f : Q \to Z^2$ telle que $f(p/q) = (p,q)$ avec $p$,$q$ premiers entre eux et $q>0$ on peut rajouter $f(0)=(0,1)$ pour être parfaitement rigoureux. Évidemment, ce n'est pas une bijection: $(4,6)$ par exemple n'a pas d'antécédent, puisque $f(4/6) = (2,3)$.

On a donc $\card \Q \leq \card(\Z^2)$.

D'autre part, on a vu dans la première partie: $\card (\Z^2) = \card \Z$. Or $\Z$ s'injecte trivialement dans $Q$: $\card \Z \leq \card \Q$.

De ces deux inégalités on déduit $\card (\Z^2) = \card \Q$, alors qu'il serait fastidieux d'exhiber une bijection explicite entre $Q$ et $\Z^2$.