Quelques précisions sur les ensembles indénombrables.

En fait, l'application $l$ donnée dans la partie $I$ n'est pas vraiment une bijection, mais seulement une injection.

Cela est dû à l'existence de deux écritures décimales distinctes pour les décimaux: l'une avec un nombre fini de chiffre (ex: $1,23$), l'autre avec un nombre infini de chiffres (ex: $1,2299\ldots$^4.1)

En conséquence, le nombre $0,50595\ldots$ par exemple n'a pas d'antécédent puisque:

$$l(0,555\ldots , 0,09999\ldots) = l(0,555\ldots , 0,1) = 0,515050\ldots$$

Cependant, ça suffit: $l$ nous fournit une injection de $\lbrack0,1\lbrack^2$ dans $\lbrack0,1\lbrack$, et l'injection réciproque est triviale. En appliquant le théorème de Cantor-Bernstein on peut donc conclure en toute rigueur que

$$\card(\lbrack0,1\lbrack) = \card(\lbrack0,1\lbrack^2)$$

La généralisation à $\card \R = \card (\R^2)$, se fait toujours comme indiqué dans la première partie.