Voici une démonstration plus indirecte du fait que est indénombrable, mais qui a l'avantage de préciser le rapport entre les 2, à savoir , l'ensemble des parties de .
En voici une (jolie) démonstration par l'absurde.
Supposons qu'il existe une bijection Pour tout dans , est un sous-ensemble de . Notons . Par construction, est une partie de , donc est dans . Comme est une bijection, a un antécédent dans , ie: il existe tel que .
Alors:
On constitue donc l'application de la façon suivante. Soit dans . est donc un sous-ensemble (fini ou infini) de .
On forme un nombre écrit en base de la façon suivante:
D'autre part, si on fabrique l'application comme , mais en considérant que cette fois d est écrit en base 3 (ou 10, ou n>2), alors l'application q est une injection de dans .4.3
se surjecte et s'injecte à la fois dans , donc , ie:
Par généralisation du cas fini, on écrit:
En effet, puisque est inclus (donc s'injecte) dans , . De plus, on vient de montrer que , et que n'est pas équipotent à . Donc .