Hypothèse du Continu...

On définit $\aleph_1$ comme étant le plus petit cardinal strictement supérieur à $\aleph_0$^4.4

Le fait de savoir si $\card \R = \aleph_1$ est indécidable d'après la construction de $R$ seule, c'est-à-dire qu'on peut arbitrairement décider que oui ou non. Habituellement, on fait l'hypothèse que c'est bien le cas (hypothèse du Continu): $\aleph_1 = \card \R$.

En termes plus simples, l'hypothèse du Continu dit que: toute partie de $R$ est soit au plus dénombrable, soit équipotente à $R$.

En termes intuitifs (!): il n'existe pas d'ensemble ``strictement plus gros'' que $\N$ mais ``strictement plus petit'' que $R$.