Le point de vue Théologique.

$e^{i\pi}+1=0$. Il suffit de définir la fonction puissance.

Si $a$ est un réel positif, on définit $a^n$ pour tout entier naturel $n$, puis $a^{1/p}$ pour tout entier naturel $p$ (c'est le nombre $b$ tel que $b^p=a$. Ce nombre existe car l'application $b \to b^p$ est un bijection)

Donc $a^q$ pour tout nombre rationnel positif $q$, puis $a^x$ pour tout réel positif $x$ (par passage à la limite).

On s'aperçoit que la fonction que l'on définit ainsi admet un prolongement analytique: $z \in \C \to a^z \in \C$, on démontre qu'il existe une infinité de réels positifs tel que $e^{i\pi}+1=0$

et on définit e comme le plus petit réel positif tel que:

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

Ensuite, on peut définir la fonction exponentielle par $\exp(x)=e^x$, et les définitions du second point de vue deviennent des théorèmes (alors qu'en utilisant la définition du second point de vue (convenablement étendue aux nombres complexes), l'équation $e^{i\pi}+1=0$ est un théorème).