Irrationalité de $e$.

L'irrationalité de $e$ fut prouvée dès 1737 par Euler, toujours lui! (voir la remarque 2, ci-après), de la façon suivante.

$$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

Donc, une première évidence: la somme partielle (appelons-la $S_n$), pour $k$ variant de $0$ à $n$ de cette série est strictement inférieure à $e$.

Ensuite, on majore la ``queue'' de la série ($k$ variant de $n+1$ à l'infini), en y remplaçant chaque $\frac{1}{k!} = \frac{1}{n!} \frac{1}{(n+1) (n+2) (n+3) \cdots k}$ par $\frac{1}{n!} \frac{1}{(n+1)^k}$. Cela donne une ``bête'' série géométrique dont la somme vaut finalement $\frac{1}{n! n}$.