Résumons:

$S_n < e < S_n + \frac{1}{n! n}$ (N.B. ceux qui ont quelque idée de l'approximation rationnelle savent déjà que c'est gagné: voir la remarque 1 ci-après).

On peut écrire cela comme $e = S_n + \frac{r(n)}{n! n}$, avec $r(n)$ dans $]0,1[$.

Supposons maintenant que $e$ soit rationnel, et soit alors $a/b$ son écriture canonique.

Dans ce qui précède, en choisissant le cas particulier $n = b$, on obtient donc: $\frac{a}{b} = S_b + \frac{r(b)}{b! b}$, avec toujours $r(b)$ dans $]0,1[$.

Multiplions par $b!$. On trouve

$$(b-1)! a = \sum_{k=0}^b \frac{b!}{k!} + \frac{r(b)}{b}$$

C'est absurde, parce que le premier membre est entier, le premier terme du second membre l'est aussi (somme de termes tous évidemment entiers), tandis que le "terme d'erreur" $r(b)/b$ ne l'est pas.