Trois preuves élémentaires.

On part de: $1/3 = 0,33333\ldots$ On multiplie par $3$ des deux côtés: $3 \times (1/3) = 3 \times 0,33333\ldots$ Ce qui donne: $1 = 0,99999\ldots$

On pose $x = 0,99999\ldots$ On multiplie par $10$ des deux côtés: $10 x = 9,99999\ldots$ On soustrait les deux expressions côté par côté: $10 x - x = 9,99999\ldots - 0,99999\ldots = 9,00000\ldots$ Donc $9 x = 9$, c'est-à-dire $x = 1$, d'où $0,99999\ldots = 1$.

Un argument très court se déduit du fait suivant: si 2 nombres réels sont différents, alors il en existe au moins un 3ème entre les deux, différent des deux autres. (ce troisième nombre peut être la moyenne entre les deux). Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre $0,99999\ldots$ et $1$; ils sont donc égaux.