Démonstration par les séries

Pour les arguments plus rigoureux, il faut commencer par définir proprement ce qu'est $0,99\ldots$

En écrivant $0,99999\ldots = 0,9 + 0,09 + 0,009 + \ldots$ , on définit $0,9999\ldots$ comme une série géométrique (c'est-à-dire une somme dont chaque terme est égal au précédent multiplié par une constante, ici $1/10$ - on dit que c'est une série géométrique de raison $1/10$), et on écrit:

$$0,99999\ldots = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i}$$

On peut facilement montrer que la somme des n premiers termes d'une série géométrique de raison $q$ et de premier terme $a$ vaut:

$$S_n = a \times \frac{1-q^n}{1-q}$$

Cette somme tend vers une limite pour $n$ tendant vers l'infini si et seulement si $q$ est strictement plus petit que $1$, et cette limite est alors:

$$S = \frac{a}{1-q}$$

Ici, $a=0,9$, $q=1/10$, ce qui est plus petit que $1$, donc

$$S = \frac{0,9}{1-1/10} = 0,9 \times \frac{10}{9}= 1$$

Donc $0,99999\ldots = 1$