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Démonstration par la limite.

L'argument le plus direct est de vérifier directement, à partir de la définition de la limite, que $1$ est la limite pour $n$ tendant vers l'infini de la série

\begin{displaymath} S_{n}= \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} \end{displaymath}

Cela signifie qu'à condition de prendre suffisamment de termes dans la série, on peut s'approcher d'aussi près de $1$ que l'on veut (c'est-à-dire rendre la différence $\vert 1 - S_n \vert$ aussi petite que l'on veut).

Mathématiquement, cette définition de limite s'écrit: $\forall \epsilon>0$, il existe $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$, on a $\vert 1 - S_n \vert < \epsilon$.

En calculant

\begin{displaymath} \left\vert 1 -\sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} \right\vert = \frac{1}{10^{n+1}} \end{displaymath}

on voit facilement que si $n$ (nombre de termes) est suffisamment grand, alors notre somme peut s'approcher d'aussi près que l'on veut de $1$, puisque leur différence, $1/(10^{n+1})$ devient de plus en plus petite quand $n$ augmente.

Pour être plus précis, si on se donne $\epsilon$, la différence maximale que l'on s'autorise, alors il suffit de prendre1.1:

Soit $n_{0} > - \log(\epsilon) - 1$. Si $n > n_0$, on aura alors:

\begin{displaymath} \left\vert 1 - \sum_{i=1}^n \frac{9}{10^i} \right\vert = \frac{1}{10^{n+1}} < \epsilon \end{displaymath}

la condition est respectée, donc la limite vaut $1$, et $0,99999\ldots = 1$
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Faq de fr.sci.maths 2003-12-14