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L'argument le plus direct est de vérifier directement,
à partir de la définition de la limite, que
est la limite pour tendant
vers l'infini de la série
Cela signifie qu'à condition de prendre suffisamment de
termes dans la série, on peut s'approcher d'aussi
près de que l'on veut (c'est-à-dire
rendre la différence
aussi petite que l'on veut).
Mathématiquement, cette définition de limite
s'écrit:
, il existe tel que pour tout , on a
.
En calculant
on voit facilement que si (nombre de termes)
est suffisamment grand, alors notre somme peut s'approcher d'aussi
près que l'on veut de , puisque leur
différence, devient de plus en
plus petite quand augmente.
Pour être plus précis, si on se donne , la différence maximale que l'on s'autorise,
alors il suffit de prendre1.1:
Soit
. Si
, on aura alors:
la condition est respectée, donc la limite vaut , et
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Faq de fr.sci.maths 2003-12-14