Le polynôme est de degré $n = 2$.

On part de l'équation: $x^2 + ax + b = 0$. Deux possibiltés se présentent: (i) $a = 0$ et (ii) $a \neq 0$

(i) $a = 0$. L'équation s'écrit $x^2 = -b$ Les deux solutions sont donc: $x_1 = \sqrt{-b}$ et $x_2 = - \sqrt{-b}$

(ii) $a \neq 0$. L'équation s'ecrit $x^2 + ax + b = 0$ Cette équation peut s'écrire: $x^2 + ax + (1/4) a^2 + b - (1/4) a^2 = 0$ Or l'on a: $(x + a/2)^2 = x^2 + ax + (1/4) a^2$ Donc on peut écrire dans la première équation: $(x + a/2)^2 = ( a^2 - 4b ) /4$

Ce qui revient au cas (i). Donc l'équation s'écrit: $x + a/2 = \sqrt{ (1/4) a^2 - b }$ ou $x + a/2 = - \sqrt{ (1/4) a^2 - b }$

On en déduit les solutions de l'equation: $x_1 = -a/2 + \sqrt{ (1/4) a^2 - b }$ et $x_2 = -a/2 - \sqrt{ (1/4) a^2 - b }$