Le polynôme est de degré $n = 3$.

On part de l'équation: $x^3 + a x^2 + b x + c = 0$. On effectue un changement de variable $x = z - a/3$. On obtient alors une équation du type: $z^3 + p z + q = 0$ Avec: $p = b - (1/3) a^2$ et $q = (2/27) a^3 - (1/3) a b + c$ ^2.2. Pour l'équation en $z$, deux cas sont possibles: (i) $p = 0$, (ii) $p \neq 0$.

(i) $p = 0$. L'équation s'écrit donc $z^3 = -q$ Cette équation a trois solutions dans $C$: $z_1 = \sqrt[3]{(-q)}$, $z_2 = j z_1$ et $z_3 = (j^2) z1$. Où $j = \frac{ -1 + i \sqrt{3}}{2}$

(ii) $p \neq 0$. L'équation est $z^3 + p z + q = 0$. On effectue un autre changement de variable z = u + v. Avec u non-nul. Et l'équation s'écrit: $u^3 + v^3 + q + (3 u v + p) (u + v) = 0$ on s'intéresse alors au système suivant^2.3:

$$\left\lbrace \begin{array}{ccc} u^3 + v^3 + q & = & 0 \ 3 u v + p & = & 0 \ \end{array}\right. \eqno{[S]}$$

Le système [S] est équivalent à:

$$\left\lbrace \begin{array}{ccc} u^6 + q u^3 - (1/27) p^3 & = & 0 \ v & = & - p /(3u) \ \end{array}\right.$$

Encore (!) un changement de variable dans la première équation. On pose $y = u^3$, et celle-ci devient: $y^2 + q y -(1/27) p^3$. De là, une solution est donc: $y = -q/2 + \sqrt( (1/2) q^2 +(1/27) p^3 )$

Donc, il ne reste plus qu'à trouver les solutions de $u^3 = y$. C'est le cas (i). On a donc comme solutions:

$$\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} u_1 & = & \sqrt[3]{y} & ... ...2 u_1 & \text{et} & v_3 & = & (j^2) v_3 \ \end{array}\right.$$

De là, on a $z_1 = u_1 + v_1$, $z_2 = u_2 + v_2$ et $z_3 = u_3 + v_3$. Ce qui nous donne les solutions pour $x$...