Le polynôme est de degré $n = 4$.

On part de l'équation $x^4 + a x^3 + b x^2 + c x + d = 0$. On effectue le changement de variable $x = z - a/4$. On obtient une équation réduite de la forme: $z^4 + p z^2 + q z + r = 0$ Avec $p = b - (3/8) a^2$ ; $q = c - a b/2 + (1/8) a^3$ et $r = d - a c/4 + (1/16) b a^2 - (3/256) a^4$

On a deux cas pour l'équation en z: (i) $q = 0$ et (ii) $q \neq0$.

(i) $q = 0$. L'équation s'écrit $z^4 + p z^2 + r = 0$. C'est ce que l'on appelle une équation bicarrée. On pose $y = z^2$ et l'equation devient $y^2 + p y + r=0$ Les solutions sont donc: $y_1 = -p/2 + \sqrt{ (1/4) p^2 - r}$ et $y_2 = -p/2 - \sqrt{ (1/4) p^2 - r}$

De là les valeurs de z sont: $z_1 = sqrt(y_1)$ ; $z_2 = - \sqrt(y_1)$ ; $z_3 = sqrt(y_2)$ et $z_4 = -sqrt(y_2)$.

(ii) $q \neq0$. L'équation s'écrit $z^4 + p z^2 + q z + r = 0$. On pose alors $2 P - Q^2 = p$ ; $-2 Q R = q$ et $P^2 - R^2 = r$. On a alors $(z^2 + P)^2 - (Qz +R)^2 = 0$. Ce qui est une autre façon d'écrire $z^4 + p z^2 + q z + r = 0$.

Si l'on arrive à determiner le triplet $(P_0, Q_0, R_0)$ alors trouver les solutions de l'équation réduite revient à résoudre:

$$\left\lbrace \begin{array}{cccc} z^2 + P_0 + Q_0 z + R_0 & =... ...ou} \ z^2 + P_0 - Q_0 z - R_0 & = & 0 \ \end{array}\right.$$

On peut donc trouver $z$. Il reste donc à determiner $P$, $Q$ et $R$. C'est à dire à résoudre le système

$$\left\lbrace \begin{array}{ccc} 2P - Q^2 & = & p \ -2 Q R & = & q \ P^2 - R^2 & = & r \ \end{array}\right. \eqno{[S]}$$

Ce système revient à:

$$\left\lbrace \begin{array}{ccc} Q^2 & = & q^2 / (4 P^2 - r) \ R^2 & = & P^2 - r \ Q R & = & -q / 2 \ \end{array}\right.$$

Ce qui revient à résoudre l'équation (en $P$) suivante: $p^3 - (p/2) P^2 - r P + p r/2 - (1/8) q^2 = 0$ De là, on trouve (pas si) facilement $P_0$. Et grâce au système [S] on peut lui associer un couple $(Q_0, R_0)$ et donc trouver $z$...(ouf!)