FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths CHAPITRE III: PROBLEMES DE GEOMETRIE

III-1. Problème de la chèvre.

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Problème
    Une chèvre est attachée par une corde de longueur l à un pieu fixé à
    un point A de la circonférence d'un enclos circulaire C de centre  O
    et de rayon R.
    Trouver l en fonction de R pour qu'elle puisse brouter au maximum la
    moitié de l'herbe de l'enclos.

Une solution :
    On trace le cercle C' de  centre  A  et  de  rayon  l  qui  coupe le
    cercle C en H et K. J est le point diamétralement opposé à A  sur le
    cercle C, et P est la projection orthogonale de O sur (AH).

    Pour obtenir l'aire S commune aux deux cercles, on additionne l'aire
    S1 du secteur AHK  du  cercle  C',  l'aire  S2  du  secteur  OHK  du
    cercle C, et on soustrait l'aire S3 du quadrilatère AHOK (qui serait
    comptée 2 fois sinon).

    On prend comme inconnue l'angle OAH = x en radians.

    On a : AK = AJ * cos x  (dans le triangle rectangle AKJ)
    d'où  l = 2*R*cos x

    S1 = (1/2)*l^2*(2*x) = x*l^2 = 4*R^2*x*(cos x)^2

    Le triangle OAH est isocèle de  sommet  O,  donc  AOH = Pi - 2*x  et
    S2 = (1/2)*R^2*2(Pi-2*x) = R^2 *(Pi-2*x)

    S3 est deux fois l'aire du triangle OAH :
    S3 = 2*OP*PA = 2* R*sin x  *  R*cos x = 2*R^2 * cos x * sin x

    L'équation à résoudre est S = Pi*R^2/2 ou encore
    S1 + S2 - S3 = Pi*R^2/2
    4*R^2*x*(cos x)^2 + R^2 *(Pi-2*x) - 2*R^2*cos x * sin x = Pi*R^2/2
    qui se simplifie en :
    2 * sin x * cos x - 2 *x * (2 * (cos x)^2 -1) = Pi/2
    En posant y = 2x :
    sin y - y * cos y = Pi/2

    y est l'angle HAK et est compris entre 0 et Pi.
    La fonction f : y --> sin y - y * cos y est continue et  strictement
    croissante sur [0 , Pi] et f(0) = 0 et f(Pi) = Pi.
    L'équation f(y) = Pi/2 admet donc une seule solution dans  [0 , Pi].

    Avec un outil de calcul, on trouve : y = 1.905695729...
    On en déduit ensuite : l/R = 2 * cos(y/2) = 1.158728473...