V-1. Les nombres premiers
FOIRE AUX QUESTIONS DE fr.sci.maths CHAPITRE V: QUESTIONS FONDAMENTALES
V-1. Les nombres premiers
SUJET PRECEDENT - INDEX - SUJET SUIVANTDéfinition : - Un nombre premier est un entier possédant exactement 2 diviseurs. (ces deux diviseurs sont donc 1 et lui-même). A noter que la définition de nombre premier exclut 1. Admettre 1 comme nombre premier rendrait faux l'important "Théorème fondamental de l'arithmétique" qui dit qu'il existe une unique manière d'écrire un nombre entier supérieur à 1 comme produit de nombres premiers (sans prendre en compte l'ordre de la multiplication). a) En existe-t-il une infinité ? Oui. En voici une démonstration par l'absurde. Noter qu'après le Théorème de Pythagore, c'est sûrement le résultat mathématique pour lequel on connaît le plus de démonstrations différentes. Supposons qu'il n'en existe qu'un nombre fini n, qui seraient p_1, p_2,..., p_n. Le produit p_1*...*p_n est divisible par chacun de ces premiers p_1,..., p_n. Cela signifie que p_1*...*p_n+1 n'est divisible par aucun d'entre eux. Donc le plus petit diviseur (excepté 1) de ce nombre, qui est forcément un nombre premier, n'est ni p_1, ni p_2,..., ni p_n. Notre liste ne peut donc pas être complète, il doit donc exister une infinité de nombres premiers. b) Quel est le plus grand que l'on connaisse ? Actuellement (attention, les records tombent vite !), le plus grand nombre premier (qui n'est pas un nombre premier de Mersenne) connu est "302627325*2^530101" qui a été découvert en 1998 par Nash, Dunaieff, Burrowes, Jobling et Gallot. Il a 159585 décimales. (Source : http://www.utm.edu/research/primes/largest.html#largest ) c) Polynôme donnant l'ensemble des nombre premiers. Il existe un polynôme à coefficients entiers à 26 variables tel que l'ensemble des nombres premiers coïncide avec l'ensemble des valeurs **positives** prises par P(a,b,c,...x,y,z) lorsque les 26 variables a,b,c,...,x,y,z parcourent N. Ce polynôme s'écrit: P(a,b,...,y,z) = (k+2) * {1 - [wz+h+j-q]^2 - [(gk+2g+k+1)(h+j)+h-z]^2 - [2n+p+q+z-e]^2 - [16((k+1)^3)(k+2)((n+1)^2) + 1 - f^2]^2 - [(e^3)(e+2)((a+1)^2) +1 -o^2]^2 - [(a^2-1)(y^2)+1-x^2]^2 - [16(r^2)(y^4)(a^2-1) +1 -u^2]^2 - [((a+(u^2) (u^2-a))^2-1)(n+4dy)^2+1-(x+cu)^2]^2 - [n+l+v-y]^2 - [(a^2-1)l^2+1-m^2]^2 - [ai+k+1-l-i]^2 - [p+l(a-n-1)+b(2an+2a-n^2-2n-2)-m]^2 -[q+y(a-p-1) + s(2ap+2a-p^2- 2p-2)-x]^2-[z+pl(a-p)+t(2ap-p^2-1)-pm]^2} Rendre P(a,...,z) positif revient à annuler simultanément chacun des crochets dans le " long " facteur {1 - [...]^2 - ... - [...]^2}. Ce facteur se réduit alors à 1, tandis que les conditions ainsi imposées à k font que le facteur " court ", à savoir (k+2), est premier. On peut lire dans " l'Abrégé d'Histoire des Mathématiques " de Jean Dieudonné (pages 232 et suivantes) l'existence d'un polynôme à 21 variables ayant la même forme et les mêmes propriétés que le polynôme déjà cité. Pour ceux qui voudraient s'initier à ce genre de mathématiques, On peut lire: -- l'article "Diophantine Decision Problems", de la regrettée Julia Robinson, pages 76 à 116 du livre "Studies in Number Theory", volume 6 des MAA Studies in Mathematics, édité (au sens scientifique du terme) par W.J. LeVeque. -- "Little book of big primes" de Paulo Ribenboim. -- "book of prime numbers records" Annexe: Dans le même ordre d'idée il existe un polynôme dont les valeurs positives donnent les nombres de Fibonacci : f(x,y) = 2 x(y^4) + (x^2)(y^3) - 2(x^3)(y^2) - (y^5) - y(x^4) + 2 y d) Nombres de Mersenne et nombres premiers. Au sujet du projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), ce projet consiste à chercher le plus grand nombre premier sous la forme d'un nombre de Mersenne (Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers du type 2^p - 1 où p est lui-même premier). Le 38ième nombre de Mersenne a été trouvé le 1er juin 1999 par l'équipe de Nayan Hajratwala, George Woltman et Scott Kurowski. il s'agit de 2^6972593 - 1. Ce nombre compte 2,098,960 décimales. Trouverez vous le 39ième nombre de Mersenne ? Vous pouvez vous aussi participer à ce grand projet en faisant tourner sur votre machine (quelle que soit la plateforme) le programme qui a été développé pour ce projet. C'est un programme que vous pouvez faire tourner en tâche de fond et qui utilise les cycles CPU non utilisés (donc cela ne ralentira pas votre ordinateur). C'est un projet de recherche à plusieurs qui utilise les résultats fournis par les 4200 participants pour déterminer quels nombres restent à tester,... C'est un projet qui se fait en collaboration, celui qui a la chance de trouver un nombre de Mersenne inscrit définitivement son nom dans l'histoire des maths... (et gagne aussi 10 000 $ je crois, mais j'espère que vous ne ferez pas ça pour l'argent). Plus de renseignements sur: http://www.mersenne.org/prime.htm ou en français (miroir officiel) sur: http://wwwusers.imaginet.fr/~fcrevola/mersenne/prime.htm