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Quel est le nombre qui continue cette suite: $2$, $12$, $1112$...

...$1112$.

La construction de la suite se fait comme suit: il faut lire à haute voix les chiffres qui la composent. On part de ``$2$'', on lit un ``$2$'', on écrit $12$. Puis, on lit un ``$1$'', un ``$2$'' on écrit $1112$. On lit trois ``$1$'', un ``$2$'', on écrit $3112$.


\begin{lemme} On peut montrer par contradiction que le nombre de signes distincts qui composent cette suite se limite aux chiffres 1, 2 et 3. \end{lemme}


\begin{demo} En effet, supposons qu'à une ligne on trouve le chiffre $4$, suivi ... .... Il ne peut donc pas y avoir de chiffre supérieur strictement à $3$. \end{demo}

Dans la suite, Nous nommerons $u_n$ la valeur trouvée à l'étape $n$ et l'on prendra la convention suivante: $u_0 =2$, $u_1=12$, $u_3=1112$, etc.


\begin{lemme} Cette suite ne peut pas se stabiliser, et même elle tend vers l'infini. \end{lemme}


\begin{demo} Nous savons calculer $u_{n+1}$\ en fonction de $u_n$\ mais aussi, e... ...\Rightarrow (n>N \Rightarrow u_n>A)$. Donc $u_n$\ tend vers l'infini. \end{demo}


\begin{lemme} On peut même montrer que le nombre de 1 diverge. \end{lemme}



\begin{lemme} On constate que la fin du code est stabilisée dès la 6ème itération pour ses signes finaux. \end{lemme}

On note $D$ la transformation telle que $u_{n+1}=D(u_n)$.
On note $\vert X\vert$ le nombre de chiffres du groupe $X$.


\begin{lemme}[1] pour $n\ge6$, $u(n)$\ se termine par $222112$\ si $n$\ est pair, et par $322112$\ si n est impair. \end{lemme}

Subsections
Faq de fr.sci.maths 2003-12-14